Proceso de nacimiento y
Muerte
La mayor parte de los modelos elementales de colas
suponen que las entradas (llegada de clientes) y las salidas (clientes que se
van) del sistema ocurren de acuerdo con un proceso de nacimiento y muerte. Este
importante proceso de teoría de probabilidad tiene aplicaciones en varias
áreas. Sin embargo, en el contexto de la teoría de colas, el termino nacimiento
se refiere a la llegada de un nuevo cliente al sistema de colas, mientras que
el termino muerte se refiere a la salida del cliente servido. El estado del
sistema en el tiempo t (t ≥ 0), denotado por N (t), es el número de clientes
que hay en el sistema de colas en el tiempo t. El proceso de nacimiento y
muerte describe en términos probabilísticos como cambia N (t) al aumentar t. En
general, sostiene que los nacimientos y muertes individuales ocurren de manera
aleatoria, y que sus tasas medias de ocurrencia dependen del estado actual del
sistema. De manera más precisa, los supuestos del proceso de nacimiento y
muerte son los siguientes:
Supuesto 1
Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual
del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con
parámetro λ n (n 50, 1, 2, . . .).
Supuesto 2
Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual
del tiempo que falta para la próxima muerte (terminación de servicio) es
exponencial con parámetro µn (n = 1, 2, . . .).
Supuesto 3
La variable aleatoria del supuesto 1 (el tiempo que
falta hasta el próximo nacimiento) y la variable aleatoria del supuesto 2 (el
tiempo que falta hasta la siguiente muerte) son mutuamente independientes. La
siguiente transición del estado del proceso es n→ n + 1 (un solo nacimiento) o
n→ n - 1 (una sola muerte), lo que depende de cuál de las dos variables es más
pequeña.
En el caso de un sistema de colas, λ n y µn
representan, respectivamente, la tasa media de llegada y la tasa media de
terminaciones de servicio, cuando hay n clientes en el sistema. En algunos
sistemas de colas, los valores de las λ n serán las mismas para todos los
valores de n, y las µn también serán las mismas para toda n excepto para
aquella n tan pequeña que el servidor este desocupado (es decir, n = 0). Sin
embargo, las λ n y las y µn también pueden variar en forma considerable con n
para algunos sistemas de colas. Por ejemplo, una de las formas en las que λ n
puede ser diferente para valores distintos de n es si los clientes potenciales
que llegan se pueden perder (rechazar la entrada al sistema) con mayor
probabilidad a medida que n aumenta. De manera similar, µn puede ser diferente
ante valores distintos de n debido a que existe una mayor probabilidad de que
los clientes renuncien (se vayan sin haber sido servidos) a medida que aumenta
el tamaño de la cola.
Distribución de llegadas:
Definir el proceso de llegada para una línea de espera
implica determinar la distribución de probabilidad para la cantidad de llegadas
en un periodo dado. Para muchas situaciones de línea de espera, cada llegada
ocurre aleatoria e independientemente de otras llegadas y no podemos predecir
cuándo ocurrirá. En tales casos, los analistas cuantitativos has encontrado que
la distribución de probabilidad de Poisson proporciona una buena descripción
del patrón de llegadas. La función de probabilidad de Poisson proporciona la
probabilidad de x llegadas en un periodo específico. La función de probabilidad
es como sigue:
P(x)=µx e^- λ / x! Para x= 0, 1, 2, …
Modelo de nacimiento puro
Defina
p0 (t)
= Probabilidad de que no ocurran llegadas durante un periodo de tiempo t. Dado
que el tiempo entre llegadas es exponencial y que la tasa de llegadas es de λ
clientes por unidad de tiempo, entonces:
Para un intervalo de tiempo suficientemente pequeño h > 0, tenemos:
La distribución exponencial se basa en la suposición de que durante h > 0, cuando mucho puede ocurrir un evento (llegada). Por lo tanto, a medida que
h→ 0, p1 (h) = 1 - p0 (h)≈ λ h.
Este resultado muestra que la probabilidad de una
llegada durante h es directamente proporcional a h, con la tasa de llegadas, λ,
como constante de proporcionalidad. Para derivar la distribución de la cantidad
de llegadas durante un periodo t cuando el tiempo entre llegadas es exponencial
con media 1/ λ
Defina pn(t) = Probabilidad de n llegadas durante t.
Para un h > 0 suficientemente pequeño:
En la primera ecuación habrá n llegadas durante t + h
si hay n llegadas durante t y ninguna llegada durante h, o n - 1 llegadas
durante t y una llegada durante h. No se permiten todas las demás combinaciones
porque, de acuerdo con la distribución exponencial, a lo sumo puede haber una
llegada durante un periodo h muy pequeño. La ley del producto de las
probabilidades es aplicable al lado derecho de la ecuación porque las llegadas
son independientes. En cuando a la segunda ecuación, durante t + h puede haber
cero llegadas sólo si no hay llegadas durante t y h. Reacomodando los términos
y tomando los límites a medida que h→0 para obtener la primera derivada de
pn(t) con respecto a t, tenemos:
Ésta es una distribución de Poisson con media de llegadas durante t. El resultado anterior muestra que, si el tiempo entre llegadas es exponencial con media 1/ λ, entonces la cantidad de llegadas durante un periodo específico t es Poisson con media λ t. Lo contrario también funciona. La siguiente tabla resume las relaciones entre las distribuciones exponenciales y de Poisson, dada la tasa de llegadas λ.
Modelo de muerte pura
En el modelo de muerte pura, el sistema se inicia con N clientes en el instante 0, sin llegadas nuevas permitidas. Las salidas ocurren a razón de m clientes por unidad de tiempo. Para desarrollar las ecuaciones diferenciales de la probabilidad pn(t) de que n clientes permanezcan después de t unidades de tiempo, seguimos los argumentos utilizados con el modelo de nacimiento puro. Por lo tanto:
Ejemplo:
Una florería inicia cada semana con 18 docenas de
rosas. En promedio, la florería vende 3 docenas al día (una docena a la vez),
pero la demanda real sigue una distribución de Poisson. Siempre que el nivel de
las existencias se reduce a 5 docenas, se coloca un nuevo pedido de 18 nuevas
docenas para entrega al principio de la siguiente semana. Debido a la naturaleza
de la mercancía, las rosas sobrantes al final de la semana se desechan.
Determine lo siguiente:
(a) La probabilidad de colocar un pedido cualquier día
de la semana.
(b) El
promedio de rosas desechadas al final de la semana. Debido a que las compras
ocurren a razón de µ = 3 docenas por día, la probabilidad de colocar un pedido
al final del día t es
Conclusión:
En la teoría de colas, el termino nacimiento se refiere a la entrada de un nuevo cliente, y el termino muerte se refiere a la salida del cliente servido. Esto nos sirve para conocer cuál es la probabilidad de que ocurran nuevos nacimientos en un determinado espacio de tiempo. Los nacimientos y muertes por lo general se dan de manera aleatoria, y sus tasas de ocurrencia dependen del sistema.
Modelos de colas basados en
el proceso de nacimiento y muerte (Infinitas). Aspectos teóricos y ejercicio
prácticos de cada modelo.
En estos modelos suponemos que todos los tiempos entre
llegadas son independientes e
idénticamente distribuidos de acuerdo con una
distribución exponencial (es decir, el proceso
de entrada, es de Poisson), que todos los tiempos de
servicio son independientes e idénticamente
distribuidos de acuerdo con otra distribución
exponencial y que el número de servidores es s
(cualquier entero positivo). En consecuencia, estos
modelos es un caso especial del proceso de
nacimiento y muerte cuando la tasa media de llegadas
al sistema de colas y la tasa media de
servicio por servidor ocupado son constantes (λ y µ) e
independientes del estado del sistema.
Tasa de servicio de sistema La tasa del servicio del
sistema µn representa la tasa
media de los servicios terminados de todo el sistema
de colas cuando existen n clientes en el.
Modelos de colas basados en
el proceso de nacimiento y muerte. (Finitas). Aspectos teóricos y ejercicio
prácticos de cada modelo.
